小學(xué)就會(huì)背的乘法表，還藏著這么多秘密？

乘法表可以追溯到 4000 多年前的巴比倫人。最早的十進(jìn)制的例子出現(xiàn)在大約公元前 300 年的中國(guó)，由竹簡(jiǎn)制作的乘法表可以計(jì)算小于 99.5 的整數(shù)和半整數(shù)的乘積;此外我們可辨認(rèn)的還有大約公元 100 年時(shí)，尼可馬庫斯(Nichomachus)在他的《算術(shù)導(dǎo)論(Introduction to Arithmetic)》中提到的畢達(dá)哥拉斯表。

最早的十進(jìn)位乘法表之一，出現(xiàn)在大約公元前 300 年的中國(guó)，用竹簡(jiǎn)構(gòu)造而成。

如今在學(xué)校里，乘法表是學(xué)生們通過死記硬背和快速記憶練習(xí)來學(xué)習(xí)乘法的工具。雖然有些人認(rèn)為掌握乘法表本身就是一種成就，但此外它還為學(xué)生打下了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。讓我們來深入研究一下，從一些有趣的視角來揭示隱藏在乘法表的奧秘。

三角形數(shù)

在解釋什么是三角形數(shù)之前，讓我們看看這個(gè)乘法表，以及我們可以用它來做什么。表中的第一行和第一列都包括了數(shù)字 1 到 10，而其他的方格中填充了所在行中的第一個(gè)數(shù)字與列中第一個(gè)數(shù)字的乘積。

我們?cè)诒砀竦捻敳亢妥髠?cè)各添加一行 / 列 0，仍然是一個(gè)乘法表，只是便于我們看出下面的一些圖案。

現(xiàn)在，我們把 2 的倍數(shù)(所有的偶數(shù))對(duì)應(yīng)的方格都涂上藍(lán)色。這意味著，與 2 的倍數(shù)對(duì)應(yīng)的所有行和列也都是藍(lán)色的，這樣我們就得到了一個(gè)藍(lán)色的網(wǎng)格。不在這個(gè)藍(lán)色網(wǎng)格中的方格都是白色的。(這里我們?cè)谒椒较蚝拓Q直方向?qū)⒈砀駭U(kuò)展到了數(shù)字 16。)

現(xiàn)在，我們把所有 3 的倍數(shù)的方塊都涂成藍(lán)色。和前面一樣，我們得到了一個(gè)藍(lán)色的網(wǎng)格，其中的行、列均對(duì)應(yīng)于 3 的倍數(shù)。中間剩余的四個(gè)白色方格組成了一個(gè)更大的正方形(2×2=4):

如果我們把所有 4 的倍數(shù)的方塊都涂成藍(lán)色，同樣可以得到一個(gè)藍(lán)色的網(wǎng)格。在這種情況下，藍(lán)色網(wǎng)格外的地方構(gòu)成包含 3×3=9 個(gè)小方格的正方形，這些正方形并不完全是白色的，因?yàn)橹虚g的方塊是藍(lán)色的。出現(xiàn)這種情況是因?yàn)?4 不是質(zhì)數(shù)。

一般來說，如果你選擇一個(gè)正整數(shù) k 并且用藍(lán)色表示乘法表中所有 k 的倍數(shù)，那么你會(huì)得到一個(gè)相應(yīng)的藍(lán)色網(wǎng)格，剩下的 (k-1)2 個(gè)小方格會(huì)組成一個(gè)正方形。k 是否為質(zhì)數(shù)決定了這些正方形是純白色還是包含一些藍(lán)色小方格。

這很有趣，我們換一個(gè) k. 下圖是我們從 k=6 得到的圖案 (你可以很容易地想象 k=5 的圖案，因?yàn)?5 是質(zhì)數(shù))。

讓我們看看三角形數(shù)如何出現(xiàn)在圖中。三角形數(shù)是一種數(shù)字，它可以用一組點(diǎn)構(gòu)成的圖案來表示，這些點(diǎn)排列在一個(gè)等邊三角形中，每邊有相同數(shù)量、間距相同的點(diǎn)。

例如:

第一個(gè)三角形數(shù)是 1，第二個(gè)是 1+2=3，第三個(gè)是 1+2+3=6，第四個(gè)是 1+2+3+4=10，以此類推。通常，第 n 個(gè)三角形數(shù) Tn 是從第一個(gè)數(shù) 1 到 n 的和：

我們?cè)鯓硬拍茉诔朔ū淼姆礁窭镎业竭@些神奇的數(shù)字呢?首先，讓我們?cè)倏匆幌鲁朔ū?，其?3 的倍數(shù)對(duì)應(yīng)的方格是藍(lán)色的。(我們忽略了藍(lán)色是 2 的倍數(shù)的乘法表，因?yàn)閿?shù)學(xué)家們認(rèn)為它是平庸的(trivial)：沒有什么意思)。乘法表中 3 的倍數(shù)涂成藍(lán)色之后的第一個(gè)白色方塊是這樣的:

把這個(gè)白色正方形里的數(shù)字加起來得到：

9 不是一個(gè)三角形數(shù)，但它是一個(gè)三角形數(shù)的平方。準(zhǔn)確地說，它是第二個(gè)三角形數(shù) T2 的平方。

現(xiàn)在，我們來看看將乘法表中 4 的倍數(shù)對(duì)應(yīng)小方格涂成藍(lán)色之后得到的第一個(gè)白色正方形:

把這個(gè)正方形里的數(shù)字 (包括中間藍(lán)色小方格里的數(shù)字) 加起來得到結(jié)果：

在這種情況下，和等于第三個(gè)三角形數(shù)的平方。

用不了多久，你就會(huì)發(fā)現(xiàn) k=5 和 k=6 也有同樣的規(guī)律。

當(dāng) k=5 時(shí)，第一個(gè)正方形里的數(shù)字之和：

當(dāng) k=6 時(shí)：

這是一個(gè)普遍的規(guī)律嗎?

我們把任意一個(gè) k 的倍數(shù)涂成藍(lán)色，都是這樣的嗎?如果是，那么將乘法表中 k 的倍數(shù)涂成藍(lán)色之后圍成的第一個(gè)正方形內(nèi)所有數(shù)字求和之后，便能求得第 k-1 個(gè)三角形數(shù) Tk-1。

我們來看看這是否正確。乘法表中，我們會(huì)看到第一行方塊的組成數(shù)字是：

第二行由這些數(shù)字乘以 2:

第三行由第一行中的數(shù)字乘以 3:

以這種方式一行接一行地繼續(xù)下去，直到正方形的最后一行：將第一行的數(shù)字乘以 (k-1)：

再把這些行中的數(shù)字相加：

提出 (1+2+3+…+k-1)，式子變成：

如上所述：

因此，我們證明了第一個(gè)大正方形內(nèi)所有數(shù)字之和 Tk-12 等于第 k-1 個(gè)三角形數(shù)的平方。

平方數(shù)

在整數(shù)的海洋中，乘法表主對(duì)角線(從西北角到東南角)上的紅色數(shù)字顯然是平方數(shù) —— 整數(shù)的 2 次方。

乘法表中不僅可以找到三角形數(shù)，還可以找到平方數(shù)。在前面的介紹中我們知道，乘法表中將數(shù)字 k 的倍數(shù)填充為藍(lán)色，由這些藍(lán)色方格所包圍的正方形中數(shù)字之和與一個(gè)三角形數(shù)有關(guān)。方格中數(shù)的和等于 (2m-1)(2n-1) Tk-12，其中 m 和 n 分別表示從頂部和左側(cè)算起的方格數(shù)目，Tk-1 是第 k-1 個(gè)三角形數(shù)。

我們可以看到，主對(duì)角線 (從西北角到東南角) 上藍(lán)色倍數(shù)所包圍的正方形格之和也是平方數(shù)。從文章的原始求和公式出發(fā)能夠很容易地證明這一點(diǎn)，因?yàn)榇怪焙退降奈恢檬窍嗤?，我們?cè)诠街兄皇褂?m：

分裂方格

如果深入研究乘法表中其他不同尺寸和位置的方格結(jié)構(gòu)，我們可以找到更多的平方數(shù)?；谥鲗?duì)角線的方形格子似乎總能產(chǎn)生平方數(shù)，而這個(gè)平方數(shù)與所選方格共有的列指標(biāo)與行指標(biāo)之和密切相關(guān)。

由第 2 行第 2 列的單個(gè)方格(橘色部分)得到平方數(shù) 22=4;第 3、4 行與第 3、4 列交疊處有四個(gè)方格(紅色)，將四個(gè)方格中的數(shù)字加在一起得到 (3+4)2=49;而第 5、6、7 行與第 5、6、7 列交疊出有九個(gè)方格(綠色)，將這九個(gè)方格的數(shù)字加在一起得到 (5+6+7)2=324。

乘法表，左側(cè)為行指標(biāo)，頂部為列指標(biāo)。

當(dāng)一個(gè)方格由非連續(xù)的行和列相交產(chǎn)生時(shí)，這似乎也成立。如果我們?nèi)〉?1、4、8 行與第 1、4、8 列的交點(diǎn)，則(分立的)方格的中數(shù)字之和是：(1+4+8)2=169.

對(duì)于乘法表中三個(gè)整數(shù) a、b、c 定義的方格，可以通過數(shù)學(xué)運(yùn)算得出對(duì)這三個(gè)數(shù)都適用的公式。在上面的例子中，方格中的數(shù)字之和是：

更一般的有：

通過將相同的行指標(biāo) (a、b、c) 與對(duì)應(yīng)的列指標(biāo) (a、b、c) 相交方格中的數(shù)字求和，給出了行 / 列指標(biāo)和的平方。這能擴(kuò)展到 4 個(gè)數(shù)字，5 個(gè)數(shù)字，甚至更多嗎?

平方的平方數(shù)和立方的平方數(shù)

基于這一知識(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)一些特殊的模式。例如，讓我們來看看以連續(xù)奇數(shù)為行指標(biāo)和列指標(biāo)對(duì)應(yīng)的行，你會(huì)很快發(fā)現(xiàn)連續(xù)奇數(shù)(從 1 開始)的和等于一個(gè)平方數(shù)。

因?yàn)檫B續(xù)奇數(shù)的和是一個(gè)平方數(shù)，那么連續(xù)奇數(shù)對(duì)應(yīng)的行 / 列指標(biāo)的和就是一個(gè)平方數(shù)。那么行 / 列指標(biāo)的和的平方將是一個(gè)平方數(shù)的平方：即一個(gè)數(shù)字的四次方。因此，我們可以用這種特殊的格陣形式從乘法表中得到 4 次方的正整數(shù)。

將連續(xù)奇數(shù)行和連續(xù)奇數(shù)列交點(diǎn)上的藍(lán)色正方形求和會(huì)得到 4 次冪的數(shù)。

我們可以使用另一個(gè)有趣的結(jié)論，一個(gè)立方數(shù) (一個(gè)數(shù)的 3 次方) 可以寫成一個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和。例如，13=1，23=8=3+5，和 33=27=7+9+11.因此，如果我們選擇的是這些連續(xù)的奇數(shù)行和奇數(shù)列的交點(diǎn)的方形格，這些方形格中數(shù)字的和將是一個(gè)立方數(shù)的平方，也就是一個(gè)數(shù)的 6 次方。下面的綠色方塊是第 3、5 行與第 3、5 列的交點(diǎn)，它們的和是 (3+5)2=(23)2=26. 黃色方塊是第 7、9、11 行與第 7、9、11 列的交點(diǎn)，它們的和是 (7+9+11)2=(33)2=36.

數(shù)學(xué)老師總是在尋找新的方法來介紹乘法、指數(shù)和代數(shù)的概念。如果我們跳出思維定式，就會(huì)發(fā)現(xiàn)乘法表不僅僅是用來記憶乘法表的工具。如果我們選擇潛入湛藍(lán)的海水深處，我們將在她的海底發(fā)現(xiàn)許多數(shù)學(xué)寶藏。

原文鏈接：

https://plus.maths.org/content/powers-multiplication-table

https://plus.maths.org/content/triangular-patterns